Matematycy odkrywają nowe rozwiązanie tajemniczego „problemu z całowaniem”

Po raz pierwszy od czasu Johna Leecha w 1976 r. poczyniono postępy w rozwiązaniu intrygującego „problemu całowania”, który pozostaje pełen tajemnic.

Mówi się, że w maju 1694 r. Izaaka Newtona i astronom Dawid Gregory Zaczęli kontemplować naturę gwiazd, aż w końcu natknęli się na matematyczną zagadkę, która przetrwała wieki.

Jak opisał , rozmowa dotyczyła tego, jak gwiazdy o różnych rozmiarach krążą wokół centralnego słońca. Ale dzisiaj pamiętamy bardziej ogólne pytanie, które zainspirowało rozmowę: Biorąc pod uwagę kulę centralną, ile identycznych kul można ułożyć tak, aby stykały się z nią bez nakładania się?

Można je ustawić w trzech wymiarach 12 kul wokół centralnej kuli tak, aby każdy z nich dotykał jednego punktu. Ale taki układ pozostawia przestrzenie pomiędzy kulami.

Więc, Czy byłoby możliwe wcisnąć 13-tą kulę w tę pozostałą przestrzeń? Wybitni naukowcy kwestionowali. Tak myślał Grzegorz. Newton tak nie uważał.

O problem z „pocałunkiem”.jak ją zaczęto nazywać, okazała się przydatna na przykład do analizy struktur atomowych i konstrukcji kodów korekcji błędów. Stała się także dużym wyzwaniem matematycznym.

Matematyka udowodniła to dopiero w 1952 roku Newton miał rację: w naszych trzech znanych wymiarach, maksymalna liczba „pocałunków” wynosi 12.

Jednakże problem ten może dotyczyć sfer dowolny wymiar.

W dwóch wymiarach odpowiedź jest jasna sześć: Jeśli położymy monetę na stole, zobaczymy, że gdy umieścimy wokół niej sześć innych monet, pasują one idealnie.

Ale… co z wyższymi wymiarami?

Chociaż problem został już rozwiązany, w wymiarach czwartym, ósmym i 24, gdzie matematycy zdołali optymalnie upakować kule w cudownie symetryczne struktury kratowe, to we wszystkich pozostałych wymiarach, gdzie jest więcej przestrzeni między kulami, problem pozostaje otwarty.

Aby poprawić szacunki, matematycy zazwyczaj kierują się tą samą intuicją, która podsunęła im rozwiązania w wymiarach takich jak 8 i 24: szukają sposobów na jak najbardziej symetryczne rozmieszczenie kul.

W 2022 r. nazwano studenta matematyki Massachusetts Institute of Technology Anqi Li zdecydowałem się wyruszyć na poszukiwanie tych najdziwniejszych konstrukcji.

Pracując nad projektem, wpadła na zwodniczo prosty pomysł, który pozwolił jej i jej doradcy: Henryka Cohnapopraw szacunki liczby pocałunków w szczególnie wymagającej grupie wymiarów: 17 i 21.

Badanie w listopadzie arXivdowodzi, że liczby pocałunków w wymiarach 17, 18, 19, 20 i 21 są co najmniej 5.730, 7.654, 11.692, 19.448 i 29.768odpowiednio.

Praca stanowi pierwszy postęp w zakresie tego problemu w tych wymiarach od lat 60. XX wieku i pokazuje korzyści płynące z wprowadzenia większego bałaganu do potencjalnych rozwiązań.

„Od kodów do pocałunków”

W 1967 matematyk Johna Leacha Użył niezwykle wydajnego kodu – znanego później z wykorzystania przez NASA do komunikacji z sondami Voyager – do zbudowania sieci punktów, które ostatecznie nazwał.

Pięćdziesiąt lat później Cohn i kilku innych matematyków udowodnili, że możliwe jest wykorzystanie tej siatki do upakowania kul tak gęsto, jak to możliwe w 24-wymiarowej przestrzeni.

Początkowo profesor Cohn był sceptyczny. W tego typu obliczeniach łatwo popełnić mały błąd, szczególnie jeśli chodzi o pozytywne myślenie. Aby „obalić” tę teorię, sprawdzili na komputerze nowy układ punktów. I zadziałało: Wszystkie kule pasują prawidłowo.

W tym samym roku Li zaczął pracować z Cohn as stażysta w Microsoft Researchgdzie mogli dokładnie udoskonalić używane kody korekcji błędów, aby móc dalej dodawać kompatybilne kule do „dziwnej” 17-wymiarowej struktury Li.

W końcu dali radę dodaj 384 nowe kule według szacunków Leecha z 1967 r., podnoszących dolny limit liczby pocałunków 5.730.

Następnie zastosowali podobne techniki, aby zwiększyć liczbę pocałunków w wymiarach od 18 do 21.

A po 21?

Jednak w wymiarach 22 i 23 strategia się nie powiodła. Wyglądało na to, że para wyczerpała swoje podejście do odwracania znaków.

Mimo to matematycy zaczęli bardziej interesować się tym, w jaki sposób Cohn i Li osiągnęli swoje zyski.

Ich nowe struktury bardzo różnią się od wysoce symetrycznych struktur inspirowanych siecią Leech. Oparte na kodzie metody dodawania sfer dały im bardziej nieregularne konfiguracje – coś zupełnie nowego.

Kilka ostatnich wyników potwierdza obietnicę dotyczącą tych mniej dostępnych możliwości. Jak donosi Quanta Magazine, w ciągu ostatnich dwóch lat matematycy stworzyli nowe inteligentne konstrukcje w wymiarach 5, 10 i 11, naginając lub łamiąc utarte zasady symetrii.

„Każda odkryta niezwykła konstrukcja daje niewiele wskazówek i wskazówek prowadzących do prawdy. Problem całowania jest wciąż pełen tajemnic„, uważa Henry Cohn, cytowany przez to samo czasopismo.