Matematycy odkrywają nowy sposób znajdowania liczb pierwszych

Dwóch matematyków przyjęło inną perspektywę: przybliżone liczby pierwsze są znacznie łatwiejsze do znalezienia niż liczby pierwsze.

Os takty muzyczne Liczby pierwsze są fascynacją – lub problemem – dla każdego, kto na co dzień ma do czynienia z matematyką.

Liczby te, które dzielą się tylko przez siebie i przez 1, są uważane za najbardziej podstawowe elementy matematyki. A zarazem najbardziej tajemniczy.

Wydają się przypadkowe, ale tak nie jest. Istnieją wzorce – które jednak są dziwne i które matematycy przez wieki próbowali rozwikłać, a którzy do dziś nie potrafią ich dokładnie zidentyfikować, przypomina.

Ale teraz dwóch matematyków przyjęło inną perspektywę: przybliżeni kuzyni Dużo łatwiej je znaleźć niż swoich kuzynów.

Ben Green z Uniwersytetu Oksfordzkiego i Mehtaab Sawhney z Uniwersytetu Columbia osiągnęli znaczący postęp w teorii liczb, rozwiązując długotrwały problem związany z określonym typem liczb pierwszych.

Ich odkrycie wyjaśnia zawiłe wzorce liczb pierwszych i wprowadza wszechstronne narzędzie matematyczne – normę Gowersa – do nowej dziedziny.

Wyzwanie stojące przed duetem opiera się na przypuszczeniu przedstawionym w 2018 roku przez Johna Friedlandera i Henryka Iwańca. Hipoteza pyta, czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych w postaci \( p^2 + 4q^2 \), gdzie \( p \) i \( q \) są również liczbami pierwszymi. Restrykcyjne warunki tego problemu sprawiły, że był on szczególnie trudny do rozwiązania.

Mając doświadczenie w badaniu wzorów liczb pierwszych, obaj matematycy zauważyli, że tradycyjne techniki liczenia okazały się niewystarczające, co skłoniło ich do skorzystania z innowacyjnego alternatywnego rozwiązania: przybliżonych liczb pierwszych.

Przybliżeni kuzyni to liczby niepodzielne przez mały zbiór liczb pierwszych, funkcjonujące jako przybliżenie rzeczywistych liczb pierwszych.

Używając przybliżonych liczb pierwszych, matematycy udowodnili, że a mniej restrykcyjna wersja problemu, a następnie stanął przed bardziej złożonym zadaniem powiązania tego wyniku z rzeczywistymi liczbami pierwszymi.

Wymagało to analizy specjalnych funkcji matematycznych, znanych jako sumy typu I i typu II, oraz wykazania równoważności wyników uzyskanych za pomocą przybliżonych liczb pierwszych i rzeczywistych liczb pierwszych.

A Norma Gowersanarzędzie stworzone przez Timothy’ego Gowersa do pomiaru losowości i struktury, odegrało w tym kluczową rolę.

Chociaż pierwotnie nie było to związane z teorią liczb, Green i Sawhney dostosowali normę, aby wypełnić lukę między wynikami przybliżonymi i rzeczywistymi liczbami pierwszymi.

Ich wysiłki zakończyły się dowodem hipotezy Friedlandera i Iwańca.

Co więcej, rozszerzyli pracę, aby wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych w innych postaciach ograniczonych.

„Ten wynik jest spektakularny” – powiedział Friedlander.